Dans les deux précédents articles de cette série [1]|[2], nous avons fait un gros détour sur les bases de la cryptographie moderne. Notamment autour de la signature électronique. Et si nous embrayions sur notre cher Bitcoin, et le hashage cryptographique ?

Signature électronique à courbe elliptique

Construction graphique de la clé publique

Contrairement au protocole RSA qui utilise des nombres premiers aléatoires, le chiffrement ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm) utilise lui des courbes elliptiques pour générer les paires de clés publiques et privées. Là, je vous vois trembler. Mais ne vous en faites pas, je ne rentrerai pas dans les mathématiques très complexes de l’ECDSA comme pour le protocole RSA qui restait “relativement” vulgarisable.

Ce protocole de chiffrement se base donc sur ces courbes assez singulières. Heureusement, nous allons pouvoir outrepasser ses équations cubiques et autres joyeusetés mathématiques en construisant une paire de clés de manière graphique. Pour ce faire, nous aurons besoin d’un générateur, représenté par le point G sur la courbe. Votre clé privée, appelons-le k, sera un nombre aléatoire très grand de 256 bits. Comment calcule-t-on votre clé publique à partir de votre clé privée ? Mathématiquement, c’est très simple, le résultat suivant déterminera votre clé publique P : 

P = k*G 

Cela vous parait trop simple ? Ne posez pas de question, c’est dû aux mathématiques assez particulières des courbes elliptiques !

Construction graphique si k est un nombre pair

Afin de construire votre clé publique, nous réaliserons des additions successives du point G. Imaginons que votre clé privée soit le nombre 2. Pour trouver votre clé publique P, nous calculerons le résultat de 2*G soit G+G, ce qui se traduit comme ceci :

Le nombre 2G est le point symétrique, par l’axe des abscisses, de l’intersection de la courbe elliptique et de la tangente passant par G.

Si votre clé privée est 4, nous répéterons la procédure en partant du point 2G. Le résultat 2G + 2G = 4G est le symétrique du point coupé par la tangente passant par 2G. 

Et ainsi de suite pour toutes les puissances de 2. Pour construire les autres nombres pairs, il sera nécessaire de faire des additions avec les nombres précédemment construits. Par exemple 4G + 2G pour k = 6.  

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Construction graphique si k est un nombre impair

Si votre clé privée est un nombre impair, par exemple 3, nous tracerons la droite passant par 2G et G. Si nous généralisons à tout nombre impair :

P = (k-1)G + G

Réversibilité de la construction graphique

Comme vous le voyez, il est plutôt simple de construire graphiquement votre clé publique pour des petits nombres. De même, un ordinateur réalisera sans soucis ce calcul avec des nombres gigantesques. Il suffira de répéter l’opération autant de fois que nécessaire. 

En revanche, pensez-vous que cette construction est réversible ? Si je vous donnais un point au hasard sur la courbe, vous n’auriez aucun indice sur l’étape suivante. Les possibilités étant infinies. 

Laissons donc tomber le « brute force ». Mathématiquement, la complexité d’inverser la génération de clés, vient lui aussi du problème du calcul du logarithme discret. Nous ne savons pas l’inverser efficacement sans un temps qui ne sera pas déraisonnablement et inimaginablement long. 

La fonction de hashage

Le hashage est loin d’être une fonctionnalité réservée au Bitcoin. Il a de nombreuses applications, notamment dans la vérification de données lorsque l’on réalise des copies de documents très volumineux.

Par nature, le hashage associe à une donnée de taille arbitraire, une image à taille fixe qui sert d’empreinte numérique. C’est-à-dire que si vous hashez deux chaînes de caractères de longueur totalement différentes, vous trouverez deux hash de longueur identique. Le hashage est une compression irréversible d’une donnée. Dans la cryptographie, elle doit répondre à plusieurs propriétés. 

• Déterministe : appliquer deux fois la même fonction de hashage à une même donnée doit conduire au même résultat.
• Effet avalanche : le résultat de la fonction de hashage pour deux données extrêmement proches doit conduire à des résultats très différents.
• Rapide à calculer : il doit être facile à recalculer pour vérifier rapidement le hash d’une donnée. Je vous laisse deviner la quatrième propriété ?
• À sens unique : afin de renforcer la propriété suivante et permettre le cryptage irréversible des données.
• Résistant aux collisions : permettant l’impossibilité de construire ou modifier des données qui puissent conduire au même hash qu’une autre donnée. Il doit même être immensément improbable de pouvoir trouver deux données conduisant au même hash. Le meilleur moyen de répondre à cette problématique est d’allonger la longueur des hash. Par exemple, SHA-256 possèdent des hash de 256 bits, soit 1 chance sur 2^128, que deux données conduisent au même hash (si vous trouvez ce nombre plus faible qu’attendu et étonnant que la réponse ne soit pas 2^256, je vous renvoie au paradoxe des anniversaires).

Le bouclier énergétique du réseau Bitcoin

Le problème mathématique que résolvent les mineurs

Les mineurs sont mis en compétition afin de calculer le hash d’un block qui est constitué de plusieurs éléments :

• Le “merke root hash” ou hash en arbre de merkel de toutes les transactions contenue dans le block,
• Le hash du block précédent,
• L’horodatage du block,
• La version du block (version 4 depuis 2015),
• Le seuil cible (j’y reviens juste après),
• Un nombre aléatoire ajouté au block par les mineurs que l’on nomme « nonce ».

Le défi pour les mineurs, est d’implémenter un nombre aléatoire, le « nonce », dans les données du block dont le hash résultant validera les conditions données par le seuil cible. Le seuil cible est une valeur de hash à ne pas excéder, déterminé en fonction de la difficulté de minage. Les mineurs vont répéter plusieurs millions de milliards de fois ces essais aléatoires. Lorsqu’un mineur trouve un « nonce » qui valide un hash plus faible que le hash de seuil, ce qui en théorie doit toujours prendre environ 10 min. Il est autorisé à s’auto-attribuer les nouveaux bitcoins minés à la clé ! 

Si vous avez bien compris ce que représentait un hash, c’est ici que vous froncez les sourcils. Je vous ai dit auparavant qu’un hash faisait toujours la même taille, et maintenant il doit être plus petit qu’un certain nombre ? Le seuil cible représente une valeur, à ne pas confondre avec la taille du hash. Un hash avec la fonction SHA-256 est toujours composé de 256 bit. Pour que sa valeur soit inférieure à 2^184, qui est la valeur de seuil actuelle, celui-ci devra comporter une chaîne d’au moins soixante-douze “0” en début de hash.

Plus il y a de mineurs en compétitions, plus le hashrate (le nombre total de hash par seconde de l’ensemble du réseau) sera élevé et plus l’ensemble des mineurs auront de chance de trouver rapidement un hash valide. C’est pourquoi cette valeur seuil s’ajuste. En 2018, par exemple, ce nombre était aux alentours de 2^200. Signe que la difficulté était significativement plus faible qu’aujourd’hui, le seuil cible étant plus grand. Pour vous visualiser la difficulté du calcul, en moyenne, une fonction de hashage avec un « nonce » aléatoire conduit à des résultats de l’ordre de 2^252. 

Analogie Auroral et bouclier énergétique

Le minage n’est rien de plus qu’un casino géant où des milliers de mineurs, pour avoir le droit de jouer, doivent acheter une machine à sous et payer sa facture électrique. Le premier joueur à aligner soixante-douze “0” d’affilée sur les 256 rouleaux que compte sa machine, gagne 6,25 bitcoin! Lorsque des nouveaux joueurs arrivent ou ceux déjà présents achètent d’autres machines à sous, afin de ne pas ruiner le casino et ne permettre qu’un gagnant toutes les dix minutes, les chances de gagner cette loterie géante doivent diminuer. Ce n’est plus soixante-douze “0” d’affilé qui doivent apparaître sur les machines, mais soixante-treize. 

Lors de ces trois premiers articles, nous avons passé en revue quelques principes généraux de la cryptographie et appliqué au Bitcoin. Mais je sens la question trotter dans vos têtes depuis un petit moment, pourquoi tous ces détours ? Vous aurez la réponse dans mon prochain et dernier article de la série. Nous y verrons, malgré toutes les preuves apportées sur la robustesse de ces protocoles et leur irréversibilité, comment il pourrait s’effondrer, du jour au lendemain.

« Merci pour ta contribution à une société plus juste, tu es l’homme le plus brillant que j’eus le plaisir de connaître. Merci, Satoshi. »

Hal Finney”

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